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B树以及B+树

MySQL数据库使用B+树作为索引存储的数据结构,B+树是从B-Tree发展而来,本文对该数据结构进行了详细解析。

1. B-Tree

B树等于B-树,不是二叉搜索树,实际上没有B-树的说法,而BST和B树不一样

引自wiki:

B树(英语:B-tree)是一种自平衡的树,能够保持数据有序。这种数据结构能够让查找数据、顺序访问、插入数据及删除的动作,都在对数时间内完成。B树,概括来说是一个一般化的二叉查找树(binary search tree),可以拥有多于2个子节点。与自平衡二叉查找树不同,B树为系统大块数据的读写操作做了优化。B树减少定位记录时所经历的中间过程,从而加快存取速度。B树这种数据结构可以用来描述外部存储。这种数据结构常被应用在数据库和文件系统的实现上。

B 树(B-Tree)是为磁盘等辅助存取设备设计的一种平衡查找树,它实现了以 O(log n) 时间复杂度执行查找、顺序读取、插入和删除操作。由于 B 树和 B 树的变种在降低磁盘 I/O 操作次数方面表现优异,所以经常用于设计文件系统和数据库

如下图是一棵键值为英语字母的 B 树,带浅阴影的节点是查找字母 R 时要检查的节点。

可以发现,上述的查找过程和BST的查找过程很相似。下面对B-Tree中的节点关系做一些说明,这个和BST有一些不同。

B树内的节点关系

B 树中的节点分为内部节点(Internal Node)叶节点(Leaf Node),内部节点也就是非叶节点(Non-Leaf Node)

B 树的内部节点可以包含 2 个以上的子节点,所以在设计时可以预先设定可包含子节点的数量范围,也就是上界(Upper Bound)下界(Lower Bound)。当向节点插入或删除数据时,也就意味着子节点的数量发生变化。为了维持在预先设定的数量范围,内部节点可能会被合并(Join)或拆分(Split)。因为子节点的数量有一定的范围,所以 B 树不需要频繁地变化以保持平衡(提高了效率)。但同时,由于节点可能没有被完全填充,所以会浪费一些空间。

B 树中每一个内部节点会包含一定数量的键值(Key)。这些键值同时也扮演着分割子节点的角色。例如,假设某内部节点包含 3 个子节点,则实际上必须有 2 个键值:a1 和 a2。其中,a1 的左子树上的所有的值都要小于 a1,在 a1 和 a2 之间的子树中的值都大于 a1 并小于 a2,a2 的右子树上的所有的值都大于 a2。

通常,键值的数量被设定在 d 和 2d 之间,其中 d 是可包含键值的最小数量。可知,d + 1 是节点可拥有子节点的最小数量,也就是树的最小的度(Degree)。因数 2 将确保节点可以被合并或拆分。

  • 如果一个内部节点有 2d 个键值,那么添加一个键值给该节点将会导致 2d + 1 的数量大于范围上界,则会拆分 2d + 1 数量的节点为 2 个 d 数量的节点,并有 1 个键值提升至父节点中。

  • 类似地,如果一个内部节点和它的邻居节点(Neighbor)都包含 d 个键值,那么删除一个键值将导致此节点拥有 d - 1 个键值,小于范围下界,则会导致与邻居节点合并。合并后的节点包括 d – 1 的数量加上邻居的 d 的数量和两者的父节点中的 1 个键值,共为 d – 1 + d + 1 = 2d 数量的节点。

深度(Depth)描述树中层(Level)的数量。B 树通过要求所有叶节点保持在相同深度来保持树的平衡。深度通常会随着键值的不断添加而缓慢地增长。

B树的定义

对于 B 树定义中的一些术语常有混淆,比如对于阶(Order)的定义。Knuth Donald 在 1998 年将阶(Order)定义为节点包含子节点的最大数量。

使用阶来定义 B 树,一棵 m 阶的 B 树,需要满足下列条件:

  • 每个节点最多包含 m 个子节点。
  • 除根节点外,每个非叶节点至少包含 m/2 个子节点。
  • 如果根节点包含子节点,则至少包含 2 个子节点。
  • 拥有 k 个子节点的非叶节点将包含 k - 1 个键值。
  • 所有叶节点都在同一层中。

下面是一棵高度(Height)为 3 的 B 树:

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B 树上大部分操作所需的磁盘存取次数与 B 树的高度成正比。

  • h 代表 B 树的高度;
  • n 代表整个树中包含键值的数量 n > 0;
  • m 为内部节点可包含子节点的最大数量,则当树满时 n = mh – 1;每个内部节点最多包含 m - 1 个键值;
  • d 代表内部节点可包含最少子节点的数量,即最小度数(Degree)有 d = ⌈m/2⌉。

B 树的最优条件下的 h 为:

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B 树的最差条件下的 h 为:

img

B 树的操作

  • 查询操作

    在 B 树中查询键值与在二叉树中的键值查询方式是类似的。从根节点开始查询,通过递归进行自顶向下的遍历。在每一层上,将查询键值与内部节点中的键值比较,以确定向哪个子树中进行遍历。

![img](/images/posts/mysql/btree/B-Tree-query.png)
  • 插入操作

    当要插入一个新的键值时,首先在树中找到该键值应当被插入的叶节点的位置:

    • 如果叶节点包含键值的数量在设定的范围上界和下界内,则直接插入新键值,并保持键值在节点中顺序
    • 否则,节点已满,将节点分割为 2 个节点:

      1. 选择中间值(Median)作为分割点;
      2. 小于中间值的键值放入新的左节点中,大于中间值的键值放入新的右节点中;
      3. 将中间值插入到父节点中。此时可能导致父节点满,采用同样方式分割。如果父节点不存在,比如是根节点,则创建一个新的父节点,也就导致树的高度增长。
    ![img](/images/posts/mysql/btree/B-Tree-insert.png)
  • 删除操作

    在 B 树中删除键值可以通过不同的策略来实现,这里介绍常见的定位删除策略:定位键值后删除,然后重构整个树至平衡。平衡指的是仍然保持 B 树的性质。

    1. 搜索要被删除键值的位置。
    2. 如果键值在叶节点中,则直接删除。
    3. 如果键值在内部节点中,由于其正扮演分割子节点的角色,所以删除后需要找一个替代键值继续保持两个子节点的分割。此时,可以选择左子节点中最大的键值,或者右子节点中最小的键值。将选中的键值从子节点中删除,然后插入到被替换的位置。
    4. 如果删除键值后的节点已经不满足对最少键值数量的要求,则需要重平衡整棵树,平衡操作包括旋转(Rotation)、组合(Join)等。
![img](/images/posts/mysql/btree/B-Tree-delete.png)

2. B 树的变种

“B 树” 这个术语在实际应用中还代表着多种 B 树的变种,它们有着相似的结构,却各有特点和优势:

  • B 树在其内部节点中存储的键值不会再在叶节点中存储,内部节点不仅存储键值也会存储键值关联附属数据,或者存储指向关联附属数据的指针。同时,B 树会保持内部节点的 1/2 填充。

  • B+ 树是 B 树的一个变种,在内部节点中存储的键值同样也会出现在叶节点中,但内部节点中不存储关联附属数据或指针。在叶节点中的不仅存储键值,还存储关联附属数据或指针。此外,叶节点还增加了一个指向下一个顺序关联叶节点的指针,以改进顺序读取的速度

  • B* 树也是 B 树的一个变种,要求除根节点外的内部节点要至少 2/3 填充,而不是 1/2 填充。为了维持这样的结构,当一个节点填满后不会立即分割节点,而是将它的键值与下一个节点共享,当两个节点都填满之后,再将 2 个节点分割成 3 个节点。

3. B+ 树的优势

B+ 树是 B 树的一个变种,在内部节点中存储的键值同样也会出现在叶节点中,但内部节点中不存储关联附属数据或指针。在叶节点中的不仅存储键值,还存储关联附属数据或指针。这样,所有的附属数据都保存在了叶节点中,只将键值和子女指针保存在了内节点中,因此最大化了内节点的分支能力。此外,叶节点还增加了一个指向下一个顺序关联叶节点的指针,以改进顺序读取的速度。

常见的文件系统和数据库均使用 B+ 树实现,例如:

  • 文件系统:NTFS, ReiserFS, NSS, XFS, JFS, ReFS, BFS, Ext4;
  • 关系型数据库:DB2, Informix, SQL Server, Oracle, Sybase ASE, SQLite;
  • NoSQL 数据库:CouchDB, Tokyo Cabinet;

B+ 树的优势在于:

  • 由于内部节点不存储键值关联的附属数据,所以内部节点节省的空间可以存放更多的键值。也就意味着从磁盘存取一页时可获得更多的键值信息。
  • 叶节点形成了一个链,所以对树的全扫描就是对所有叶节点的线性遍历。